分类
外汇交易平台比较

Copula-GARCH模型下的两资产期权定价

22 波动率模型的应用

下面研究GARCH模型导致的波动率期限结构, 比如, 日对数收益率的波动率与月对数收益率的波动率的关系。 以时间 \(t\) 为基础, 距离 \(t\) 时刻 \(h\) 期(比如 \(h\) 个交易日)的对数收益率为 \[\begin r_ = \sum_^h r_ \end\] 于是 \[ E(r_ | F_t) = \sum_^h E( r_ | F_t ) \] \(h\) Copula-GARCH模型下的两资产期权定价 期的条件方差,即波动率平方为 \[\begin \text(r_ | F_t) = \sum_^h \text(r_ | F_t) + Copula-GARCH模型下的两资产期权定价 \sum_ \text(r_, r_ | F_t) \end\] 实证分析和有效市场理论都认为协方差接近零,所以可假定 \[\begin \text(r_ | F_t) = \sum_^h \text(r_ | F_t) \end\] 对于GARCH模型,这就是 \[\begin \sigma_^2 = \text(r_ | F_t) = \sum_^h \sigma_t^2(\ell) \end\] 其中 \(\sigma_^2\) 表示以 \(h\) 期为单位的基于时刻 \(Copula-GARCH模型下的两资产期权定价 t\) 计算的条件方差, 即 \(h\) 期的对数收益率的波动率平方, \(\sigma_t^2(\ell)\) 是基于时刻 \(t\) 的单期对数收益率的波动率的超前 \(\ell\) 步预测。

考虑GARCH(1,1)模型的超前 \(\ell\) 步预测问题。模型为: \[\begin \sigma_t^2 =& \alpha_0 + \alpha_1 a_^2 + \beta_1 \sigma_^2 \tag \end\] 其中 \(\alpha_0>0\) , \(\alpha_1, \beta_1 \in [0, 1)\) , \(\alpha_1 + \beta_1 < 1\) 。 已证明 \[ \text(a_t) = \sigma^2 = \frac \] 可以将(22.1)改写成 \[\begin (\sigma_t^2 - \sigma^2) = \alpha_1 (a_^2 - \sigma^2) + \beta_1 (\sigma_^2 - \sigma^2) \tag \end\] 这个式子可以看成是 \(a_t^2\) 的一步预测 \(E(a_t^2|F_)\) 与长期预测 \(\sigma^2\) 的偏离的模型。

波动率的基于 \(F_t\) 的超前一步预测为 \[ \sigma_t^2(1) = \alpha_0 + \alpha_1 a_^2 + \beta_1 \sigma_^2 \] 超前 \(Copula-GARCH模型下的两资产期权定价 \ell\) 步预测为 \[\begin \sigma_t^2(\ell) = \alpha_0 + (\alpha_1 + \beta_1) \sigma_t^2(\ell - 1), \ \ell=2,3,\dots \end\] 以 \(\sigma^2 = \alpha_0/(1-\alpha_1 - \beta_1)\) 代入上式可变成 \[\begin \sigma_t^2(\ell) - \sigma^2 =& (\alpha_1 + \beta_1) [\sigma_t^2(Copula-GARCH模型下的两资产期权定价 \ell-1) - \sigma^2] \\ =& (\alpha_1 + \beta_1)^ [\sigma_t^2(1) - \sigma^2] \end\]

对CAT、CSCO和GE三支股票日对数收益率建模发现, Copula-GARCH模型下的两资产期权定价 \(\alpha_1 + \beta_1\) 很接近于1(分别是 \(0.9776\) , \(0.9770\) , \(0.9991\) ), 使得波动率持续性很强, 半衰期分别为31、30、770。

多期波动率一定大于单期波动率, 为了不同期限的波动率可比, 可将其标准化为年化波动率, 公式为 \[\begin \sigma_ = \sqrt> \sigma_ \end\] 其中 \(\sigma_\) 是基于时刻 \(t\) 预测的 \(h\) 期波动率, 是从第 \(t\) 期到第 Copula-GARCH模型下的两资产期权定价 Copula-GARCH模型下的两资产期权定价 \(t+h\) 期的多期对数收益率的条件方差; \(\sigma_\) 是此多期波动率年化的结果。

下面写一个从GARCH(1,1)模型估计计算 \(h\) 期波动率, 并将其年化的函数。 输入为GARCH(1,1)模型估计结果, \(a_t\) 序列, \(h\) 是一到多个多期数值, 输出一个年化多期波动率的矩阵, 其中第 \(t\) Copula-GARCH模型下的两资产期权定价 行代表从时间 \(t\) 对 \(t+h\) 时刻的多期波动率预测, 注意:输出的不同 \(h\) 在同一时刻 \(t\) 代表的不是该时刻的某个收益率的年化波动率, 而是用前一期(相隔 \(h\) 日)的波动率对其进行的预测值。

22 波动率模型的应用

下面研究GARCH模型导致的波动率期限结构, 比如, 日对数收益率的波动率与月对数收益率的波动率的关系。 以时间 \(t\) 为基础, Copula-GARCH模型下的两资产期权定价 距离 \(t\) 时刻 \(h\) 期(比如 \(h\) 个交易日)的对数收益率为 \[\begin r_ = \sum_^h r_ \end\] 于是 \[ E(r_ | F_t) = \sum_^h E( r_ | F_t ) \] \(h\) 期的条件方差,即波动率平方为 \[\begin \text(r_ | F_t) = \sum_^h \text(r_ | F_t) + \sum_ \text(r_, r_ | F_t) \end\] 实证分析和有效市场理论都认为协方差接近零,所以可假定 \[\begin Copula-GARCH模型下的两资产期权定价 \text(r_ | F_t) = \sum_^h \text(r_ | F_t) \end\] 对于GARCH模型,这就是 \[\begin \sigma_^2 = \text(r_ | F_t) = \sum_^h \sigma_t^2(\ell) \end\] 其中 \(\sigma_^2\) Copula-GARCH模型下的两资产期权定价 表示以 \(h\) 期为单位的基于时刻 \(t\) 计算的条件方差, 即 \(h\) 期的对数收益率的波动率平方, \(\sigma_t^2(\ell)\) 是基于时刻 \(t\) 的单期对数收益率的波动率的超前 \(\ell\) 步预测。

考虑GARCH(1,1)模型的超前 \(\ell\) 步预测问题。模型为: \[\begin \sigma_t^2 =& \alpha_0 + \alpha_1 a_^2 + \beta_1 \sigma_^2 \tag \end\] 其中 \(\alpha_0>0\) , \(\alpha_1, \beta_1 \in [0, 1)\) , \(\alpha_1 + \beta_1 < 1\) 。 已证明 \[ \text(a_t) = \sigma^2 = \frac \] 可以将(22.1)改写成 \[\begin (\sigma_t^2 - \sigma^2) = \alpha_1 (a_^2 - \sigma^2) + \beta_1 (\sigma_^2 - \sigma^2) \tag \end\] 这个式子可以看成是 \(a_t^2\) 的一步预测 \(E(a_t^2|F_)\) 与长期预测 \(\sigma^2\) 的偏离的模型。

波动率的基于 \(F_t\) 的超前一步预测为 \[ \sigma_t^2(1) = \alpha_0 + \alpha_1 a_^2 + \beta_1 \sigma_^2 \] 超前 \(\ell\) 步预测为 \[\begin \sigma_t^2(\ell) = \alpha_0 + (\alpha_1 Copula-GARCH模型下的两资产期权定价 Copula-GARCH模型下的两资产期权定价 Copula-GARCH模型下的两资产期权定价 + \beta_1) \sigma_t^2(\ell - 1), \ \ell=2,3,\dots \end\] 以 \(\sigma^2 = \alpha_0/(1-\alpha_1 - \beta_1)\) 代入上式可变成 \[\begin \sigma_t^2(\ell) - \sigma^2 =& (Copula-GARCH模型下的两资产期权定价 \alpha_1 + \beta_1) [\sigma_t^2(\ell-1) - \sigma^2] \\ =& (\alpha_1 + \beta_1)^ [\sigma_t^2(1) - \sigma^2] \end\]

对CAT、CSCO和GE三支股票日对数收益率建模发现, \(\alpha_1 + \beta_1\) 很接近于1(分别是 \(0.9776\) , \(0.9770\) , \(0.9991\) ), 使得波动率持续性很强, 半衰期分别为31、30、770。

多期波动率一定大于单期波动率, 为了不同期限的波动率可比, 可将其标准化为年化波动率, 公式为 \[\begin \sigma_ = \sqrt> \sigma_ \end\] 其中 \(\sigma_\) 是基于时刻 \(t\) 预测的 \(h\) 期波动率, 是从第 \(t\) 期到第 \(t+h\) 期的多期对数收益率的条件方差; \(\sigma_\) 是此多期波动率年化的结果。

下面写一个从GARCH(1,1)模型估计计算 Copula-GARCH模型下的两资产期权定价 \(h\) 期波动率, 并将其年化的函数。 输入为GARCH(1,1)模型估计结果, \(a_t\) 序列, \(h\) Copula-GARCH模型下的两资产期权定价 是一到多个多期数值, 输出一个年化多期波动率的矩阵, 其中第 \(t\) 行代表从时间 \(t\) 对 \(t+h\) 时刻的多期波动率预测, 注意:输出的不同 \(h\) 在同一时刻 \(t\) 代表的不是该时刻的某个收益率的年化波动率, 而是用前一期(相隔 \(h\) 日)的波动率对其进行的预测值。

尊敬的读者、作者、审稿人, 关于本刊的投稿、审稿、编辑和出版的任何问题, 您可以本页添加留言。我们将尽快给您答复。谢谢您的支持!

姓名
邮箱
手机号码
标题
留言内容
验证码

张晶, DOMINIQUEGuégan, 柴俊. 基于GARCH-NIG模型和动态Copula的双标的型期权定价(英文)[J]. 华东师范大学学报(自然科学版), 2008, (5): 17-26,4.

shu

ZHANG Jing, DOMINIQUE Guégan, CHAI Jun. Bivariate option pricing with GARCH-NIG model and dynamic copula(English)[J]. Journal of East China Normal University (Natural Sciences), 2008, (5): 17-26,4.

shu

张晶, DOMINIQUEGuégan, 柴俊. 基于GARCH-NIG模型和动态Copula的双标的型期权定价(英文)[J]. 华东师范大学学报(自然科学版), 2008, (5): 17-26,4.

shu

ZHANG Jing, DOMINIQUE Guégan, CHAI Jun. Bivariate option pricing with GARCH-NIG model and dynamic copula(English)[J]. Journal of East China Normal University (Natural Sciences), 2008, (5): Copula-GARCH模型下的两资产期权定价 17-26,4.

shu

基于GARCH-NIG模型和动态Copula的双标的型期权定价(英文)

通讯作者:

中图分类号: F224.7;F224.9;0213;TB114

计量
出版历程
  • 收稿日期: 2007-11-10
  • 修回日期: 2008-01-21
  • 刊出日期: 2008-09-25

Bivariate option pricing with GARCH-NIG model and dynamic copula(English)

  • ZHANG Jing 1,2 , ,
  • DOMINIQUE Guégan 3 ,
  • CHAI Jun 4

Department of Statistics,East China Normal University,Shanghai 200062,China;

Department of Mathematics,Ecole Normale Supérieure de Cachan,Cachan 94230,France;

Centre d’Economie Sorbonne,Université Paris 1,Paris 75647,France;4.Department of Mathematics, East China Normal University, Shanghai 200062,China

Corresponding author: ZHANG Jing

摘要: 结合动态copula和GARCH模型,发展了双标的型未定权益的定价方法.针对诸如非对称、 尖峰态和厚尾现象等各种金融中的固有因素,采用NIG分布拟合于残差量.而标的资产之间的相关结构由动态copula来刻画.以上海证券指数和深圳证券指数为双标的资产最大认购期权为例,理论方法得到了有效的实证结果.

Abstract: GARCH process was developed with the combination of dynamic copula for pricing bivariate contingent claims.Inorder to take into account the stylized factors in finance,such as skewness,leptokurtosis and fat tails,NIG distribution was fitted for residuals.Furthermore,the dynamic copula method was applied to describe the dependence structure between the underlying assets.The approach was illustrated with call-on-max option of Shanghai and Shenzhen Stock Composite Indices.The results showed the advantage of the suggested approach.

16 资产波动率模型特征

Intel对数收益率时间序列

对一般的对数收益率 \(\\) , 设其服从ARMA( \(p,q\) )模型: \[ r_t = \phi_0 + \sum_^p \phi_j r_ + a_t + \sum_^q \theta_j a_ \] 其中 \(\\) 为不相关的白噪声列 (注意第6章的ARMA定义中要求独立同分布, 这里放宽要求)。 于是 \[\begin \mu_t = E(r_t Copula-GARCH模型下的两资产期权定价 | F_) = \phi_0 + \sum_^p \phi_j r_ + \sum_^q \theta_j a_ = r_t - a_t \tag \end\] 这里我们对白噪声列假定 \(a_t = r_t - E(r_t | F_)\) , 称这样的白噪声列 \(\\) 为平稳列 \(\< r_t \>\) 的新息列(innovation)或扰动列。 \(r_t\) Copula-GARCH模型下的两资产期权定价 可分解为 \[ r_t = \mu_t + a_t . \]

如果可以获得其他的解释变量(外生变量), 可以建立模型 \(r_t = \mu_t + a_t\) ,其中 \[\begin \mu_t = \phi_0 + \sum_^k \beta_i x_ + \sum_^p \phi_j y_ + \sum_^q \theta_j a_ \tag \end\] 其中 \(x_\) 是第 \(i\) 个解释变量在 \(t-1\) 时刻的值, \(y_\) 是剔除解释变量影响后的 \(r_\) 的值。 (16.3)是第10章模型的一个应用。

\(\mu_t\) Copula-GARCH模型下的两资产期权定价 服从的ARMA( \(p,q\) )的阶与数据的采样频率有关, 股票指数的日频数据往往有较小的前后相关性, 月度数据则可能没有任何显著的前后相关。

模型(16.3)中的自变量比较灵活, 例如, 可以取日期星期一哑变量为自变量, 考察所谓的周末效应。 在资产定价模型(Capital Asset Pricing Model, CAPM)中, \(r_t\) 的的方程可以写成 \[ r_t = \phi_0 + \beta r_ + a_t \] 其中 \(r_\) 是市场收益率,一般用综合指数收益率代替。

综合(16.2)和(Copula-GARCH模型下的两资产期权定价 16.3), 都有 \[\begin \sigma_t^2 = \text(r_t | F_) = \text(Copula-GARCH模型下的两资产期权定价 a_t | F_) = E(a_t^2 | F_) . \end\] 这里的 \(\sigma_t\) 就是波动率, 是收益率的条件标准差。 如果假设模型中的白噪声 \(\< a_t \>\) 是独立序列, 则 \(\sigma_t^2 \equiv \sigma^2\) , 波动率就没有建模的可能。 这里假定 \(\\) 是零均值不相关平稳列, 满足 \(E (a_t | F_) = 0\) , 但不是独立序列。

本章的问题就是对 \(\sigma_t^2\) 建模, 这种模型叫做条件异方差模型。 条件异方差模型分为两类:

  • 用确定函数来刻画 \(\sigma_t^2\) 的变化,ARCH和GARCH模型属于这一类;
  • 用随机方程描述 \(\sigma_t^2\) 的变化,随机波动率(SV)模型属于这一类。

(16.2)和(16.3)中的 \(\mu_t\) 的模型称为 \(r_t\) 的均值方程, \(\sigma_t^2\) 的模型称为 \(r_t\) 的波动率方程。 条件异方差模型就是在原来对 \(r_t\) 的均值 \(\mu_t\) 建模的基础上, 再增加一个描述资产收益率的条件方差随时间变化的模型。 这可以更精确刻画给定 \(r_1, r_2, \dots, r_t\) 后 \(r_\) 所服从的条件分布。

16.3 波动率模型的建立

  1. 通过检验序列的自相关性建立均值的方程, 必要时还可以引入适当的解释变量;
  2. 对均值方程的残差作白噪声检验, 通过后,对残差检验ARCH效应;
  3. 如果ARCH效应检验结果显著, 则指定一个波动率模型, 对均值方程和波动率方程进行联合估计;
  4. 对得到的模型进行验证, 需要时做改进。

关于均值方程, 资产收益率一般没有自相关(注意,这并不是独立)或者仅有弱的自相关。 如果样本均值显著不等于零, 需要从数据中减去样本均值, 这称为中心化。 对某些日收益率或更高频的序列可能需要建立简单的AR模型。 某些情况下可以加入额外的解释变量或者与日期有关的解释变量, 比如反映周末的哑变量, 反映一月份的哑变量,等等。 例如,在Intel股票月对数收益率的均值方程建模时, 其均值方程为一个常数。

16.4 ARCH效应的检验

为了检验ARCH效应, 先建立均值模型, 拟合 \(\mu_t\) , 计算残差 \(a_t = r_t - \mu_t\) 。 用残差序列的平方 \(\< a_t^2 \>\) 作ARCH效应检验。

有两种检验方法。 一种是对 \(\< a_t^2 \>\) 作Ljung-Box白噪声检验, 检验不显著时没有ARCH效应, 检验显著时有ARCH效应。

另一种检验方法是 (R. F. Engle 1982) 提出的。 考虑如下的最小二乘问题: \[ a_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1 Copula-GARCH模型下的两资产期权定价 a_^2 + \dots + \alpha_m a_^2 + e_t, \ t=m+1, \dots, T \] 其中 \(T\) 为样本量, \(m\) 是适当的AR阶数, \(e_t\) 为回归残差。 零假设为 \[ H_0: \ \alpha_1 = \dots = \alpha_m = 0 \] 拒绝 \(H_0\) 时有ARCH效应。 这称为Engle的拉格朗日乘子法检验。

用普通最小二乘方法估计上述回归问题并计算残差 \(\hat e_t\) 。 令 \[ \text_0 = \sum_^T (a_t^2 - \bar\omega)^2 \] 其中 \(\bar\omega = \frac \sum_^T a_t^2\) 是 \(\\) 的样本均值。 令 \[ \text_1 = \sum_^T \hat e_t^2 \] 令 \[ F = \frac<(\text_0 - \text_1)/m><\text_1/(T-2m-1)> \] 则在 \(H_0\) 成立时 \(F\) 近似服从 \(F(m, T-2m-1)\) 。 当 \(Copula-GARCH模型下的两资产期权定价 T\) 很大时 \(F\) 的分母渐近一个常数, \(mF\) 近似服从 \(\chi^2(m)\) , 用 \(\chi^2(m)\) 分布计算 \(F\) 的右侧p值进行检验。

16.4.1 Intel公司股票月对数收益率ARCH效应的检验

下面对Intel公司股票月对数收益率序列检验ARCH效应。 因为 \(r_t\) 的均值方程仅有常数项, 令 \(a_t = r_t - \bar r\) 。 先对 \(\< a_t^2 \>\) 作Ljung-Box白噪声检验: